当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性：若函数作在点

内

与【答案】设续，所以存在

从而当当得在其上

即

可见/在

上与

同号且使得

由f (x ) 在

证明：

【答案】由.

4． 1) 证明：若数列

满足下列条件之一，则

代入得是无穷大数列：

2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：

1)(1) 因为【答案】时，

于是

第 2 页，共 28 页

连续，而且则函数在点

的某一邻域使得对任

意

同号，并存在某个正

数

则存在r , 使

取使得当

时

住取

时，有

因为在点处连

由上可知存在使

2． 设函数f 在[a，b]上可导. 证明：存在

【答案】令

续，在(a , b ) 内可导，

且有得

.

3． 设

即

上可导可知，F (x ) 在上连使

故由罗尔中值定理知，

存在

.

所以对于存在正整数N ，使得当n>N

由此得，当n>N时，所以

也是无穷大数列. (2) 因为

，由知是无穷大数列，

，设r 是一个满足不等式

于是，当n>N时，

的实数，由数列极限的保号性知，存

在正整数N ，使得当n>N时，

因为r>l, 所以

2)(1)

是无穷大数列. 因此，

是无穷大数列，即

是无穷大数列.

根据上题(1) 的结论有

(2)

于是

所以

故

5．

利用不等式

为有界数列. 【答案】由不等式令

则有b>a>0.于是

因此，

为递减数列，由此推出

第 3 页，共 28 页

证明：得到

为递减数列，

并由此推出

于是

6． 设函数

【答案】令故由格林公式可得

7． 证明：

(1) 若为凸函数，为非负实数，则为凸函数； (2) 若

均为凸函数，则

为凸函数；

上凸增函数，则

为Ⅰ上凸函数。

和任意

(3) 若为区间Ⅰ上凸函数，g 为总有

两边同乘非负实数得到

即

故

为凸函数.

均为区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

两式相加得到

即

故

为凸函数.

有

因为g

为

上的增函数，所以

又因为g 为凸函数，所以

由这两个式子可得

第 4 页，共 28 页

即为有界数列.

具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L , 有

则有

【答案】(1) 设为定义在区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

(2) 设和任意总有

(3) 由凸函数的定义知，对于任意