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一、证明题

1． 证明

：

【答案】令

其中

因为

所以函数

所以

2． 设正项级数

【答案】令

，收敛，证明：级数

则

对上式两边取极限得

3． 设函数f 在区间I 上连续，证明：

(1) 若对任何有理数【答案】(1)

设当

为有理数时(2)

设有两个实数数从而

.

和

存在而当

满足

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在即

上是凸函数. 因此

而

：仍收敛，其中.

所以级数收敛到

有则在I

上有

则f 在上严格増.

使

(2) 若对任意两个有理数

由f

的连续性得

为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，

存在有理数列

又因为

使得

：

可知时

从而

再由

由有理数的稠密性知，

存在有理数

两点连续. 由) ，使得当.

时

(

设

所以

也为0，于是，在

上

并且对于正

存在有理数

知，

因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在

故f

在上严格递增.

二、解答题

4． 将函数

【答案】

在

在

上展开成傅立叶级数，并求级動

上是偶函数，有

于是，取

5． 计算积分

【答案】

的原函数不是初等函数，

且

将

在0与1没定义，

却有极限

得

，解得

的和.

在0与1作连续延拓，即

从而已

知

上连续，于是

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在区间[0, 1]上连续.

而函数

，

在闭的矩形区

域

6． 若一元函数

在

上连续，令

试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性.

任取

且因此当

于是

由于

在点在

因为

时，有

且

时，

处连续，因而f 在D 上连续. 上连续，从而一致连续. 存在

使当

因此，当

故f 在D 上一致连续.

7． 求下列极限：

【答案】因为

所以

8． 研究函数

【答案】由

于

的连续性，其中在

在闭区间

上是正的连续函数.

上是正的连续函数，故存在正数m , 使得，

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在上连续，

从而

对连续，

对任给的

存在

使当

下面讨论f 在D 上的一致连续性： 于是对任给的

时，有

时，有

且

从而