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一、证明题

1． 用

方法证明

：

则

取

则当

时，有

即

2． 设

在

上连续，且满足条件

求证：

即

3． 设

且

试证

因此

又因

为

于是有

由柯西收敛准则，得

在

上一致收敛.

证明为连续函数. 则

即

,

的值决定，而在

上

对于任给的

设

存在由，

使得知

由保不等式性

4． 设函数f 只有可去间断点，定义

【答案】设g

的定义域为

当

.

时，

g (x ) 的值由f (y ) 在邻域

在

当

在

【答案】由一致连续性定理可知

在

.

上连续，又有函数列

上也一致收敛.

在

且

上也一致连续.

时，有

有

在

上一致收敛，

为一常数.

【答案】令

【答案】由条件得

上一致收敛，由柯西收敛准

则

和

由

得

的任意性知，g (X ) 在D 上连续.

即当时故g (x ) 在连续.

二、解答题

5． 计算下列向量场A 的散度和旋度：

【答案】

(2) 同样可证

6． 求下列函数的导函数：

（1）（2）【答案】（1）

当故（2）当

当x=0时，

因

故f （x ）在x=0不可导. 因此

7． 设

时，

综上所述

时

当

时

当

时

当

时

记

其中是关于x 的多项式，求

和

【答案】由莱布尼茨公式，有

由此可知，

和

所以

8． 若一元函数

在

上连续，令

试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性.

任取

且因此当

于是

由于

在点在

因为

时，有

且

时，

处连续，因而f 在D 上连续. 上连续，从而一致连续. 存在

使当

因此，当

故f 在D 上一致连续.

在上连续，

从而

对连续，

对任给的

存在

使当

下面讨论f 在D 上的一致连续性： 于是对任给的

时，有

时，有

且

从而