2017年西安财经学院统计学院概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.
【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于：从N-1+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为
（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，
此种样本点共有
考虑到球不可辨故
（2）记
为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述：
种取法.
第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有
第二步，将n 个球放入余下的N_m个盒中，且这N —m 个盒子中都要有球，
这当然要求
：
或
否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个
球排成一行，随机抽取球与球之间的n-1个间隔中的N-m-1个间隔放火柴棒即可，这有种可能.
综合上述两步，所求概率为
（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j 个球，由类似于样本点总数的计算知：j 个球放入m 个盒子中共
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种放法，而另外n-j 个球放入
余下的N-m
个盒子中有种放法，于是所求概率为
2． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.
【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×4!种可能放法，这是分子，于是所求概率为
3． 有20个灯泡, 设每个灯泡的寿命服从指数分布, 其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡, 当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的, 求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】
记
为第i 个灯泡的寿命（单位:天）
,
由林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
4． 抽查克矽平治疗矽肺患者10名，得到他们治疗前后的血红蛋白量之差（单位：g%）如下：
（1）作正态概率图，并作初步判断；
（2）请用W 检验判断治疗前后的血红蛋白量之差是否服从正态分布（【答案】（1）首先将数据排序，得到
对每一个i ，计算修正频率
结果见表：利用软件可得到正态概率图如下：
血红蛋白量之差的概率图 正态-95%置信区间
）？
则
且
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图
图形显示10个点基本在一条直线附近. （2）W 检验. 由数据可算得表中可以计算出W 的值：
当n=10时，查表知
拒绝域为
由于样本观测值没有落入拒绝域内，
为计算方便，建立如下表格从上
故在显著性水平上不拒绝原假设，即可以认为治疗前后的血红蛋白量之差服从正态分布.
5． 设, 试求 是来自的样本, 经计算
【答案】因为
量的分布函数, 注意到t 分布是对称的, 故
利用统计软件可计算上式, 譬如, 使用MA TLAB 软件在命令行输入0.8427, 直接输入
布在x 处的分布函数. 于是有
6． 设A ，B ，C 为三事件，试表示下列事件：
（1）A ，B ，C 都发生或都不发生： （2）A ，B ，C 中不多于一个发生； （3）A ，B ，C 中不多于两个发生； （4）A ，B ，C 中至少有两个发生. 【答案】⑴
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用（x ）表示服从t （15）的随机变
则给出
则给出0.6854. 这里的就表示自由度为k 的t 分
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