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一、计算题

1． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品、仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？

【答案】仿抽样模型可得

2． 设随机变量X 服从（-1，2）上的均匀分布，记

试求Y 的分布列. 【答案】因为

表

3． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】两个球颜色相同有两种情况：全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得

所以Y 的分布列为

4． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为

，记Z=X+Y。

（I

）求【答案】 （I

）

Y

的概率密度为

（II ）求X 的概率密度f （z ）。

（II ）设z 的分布函数为F （z ），则其值为非零时z 的取值区间为[-1，2]。 当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；

当

所以z 的分布密度函数为

5． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：mk ）服从均匀分布假设的先验分布为‘求后验分布.

【答案】

与的联合分布为

此处

于是的后验分布为

6． 设

所以

与的联合分布为

时，

，其中未知，

假如此人在三个早上等车的时间分别为5, 3, 8min ，

是从正态总体N （10, 9）中抽取的样本, 试求样本均值

,

的标准差为

的标准差.

【答案】来自正态分布的样本均值仍服从正态分布, 均值保持不变, 方差为原来方差的1/n, 此处总体方差为9, 样本容量为8, 因而

7． 对冷却到-0.72°C 的样品用A , B 两种测量方法测量其溶化到0°C 时的潜热，数据如下：

方法A :

方法B :

. ）要检验

和

本题中，n=13, m=8，直接计算可得，

因此有

而

因此应拒绝原假设，即两种测量

方法的平均性能有显著性差异，检验的p 值为0.0036.

8． 设如果

【答案】记p=P（X=0），则P （X=l）=1-p，因为由

故舍去. 所以得

得1-p=3p（1-p ）.

由此解得p=l/3或p=l.因为p=l导致X 为单点分布，即X 几乎处处为0，这无多大实际意义，

假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ,

并设

可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为：

求P （X=0）.

所以

二、证明题

9． 设

是来自

的样本，α＞0已知，试证明，

是

于是

所以λ的费希尔信息量为

这就是说

的任一无偏估计的C-R 下界为

又

这就证明了

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

10．证明下列事件的运算公式：

（1）（2）

的有效估计，

从而也是UMVUE.

【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为