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一、计算题

1． 设二维随机变量

【答案】记因为

服从D 上的均匀分布, 且D 的面积

, G 的面积

2． 设总体

现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为

试对参数给出矩估计. 【答案】由于

即

而样本均值

故的矩估计

为

3． 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差是多少？

【答案】此处因子水平数r=4，每个水平下的试验次数m=3，误差平方和它们分别为

于是

其自由度为

误差方差

的估计值为

4． 设二维随机变量（X ，y ）的概率密度为

（I ）求条件概率密度（II ）求条件概率

【答案】（I ）X 的概率密度为

由四个平方组成，

的估计值

在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布,

试求

所以所求概率为

当x>0时，Y 的条件概率密度为

（II ）y 的概率密度为

5． 一个人的血型为A ，B ，AB ，0型的概率分别为0.37，0.21，0.08，0.34. 现任意挑选四个人，试求：

（1）此四人的血型全不相同的概率； （2）此四人的血型全部相同的概率.

【答案】（1）若第1，2，3，4人血型依次为A ，B ，AB ，0.

则“四人的血型全不相同”共有种可能情况，而每种情况出现的概率都是（2）所求概率为

6． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布

有两个可能取值：1.5和1.8, 且先验分布为

现检查了一页，发现有3个错别字，试求λ的后验分布. 【答案】

因此

由以上结果我们可以得到λ的后验分布

7． 设总体无偏估计.

【答案】由于总体

这给出

于是所求概率为

是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 便为的

于是

若要使

为

的无偏估计，即

8． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布, 为了解其平均寿命, 从中抽出n 件产品测其实际使用寿命, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

; 【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体, 或者可以说总体是指数分布, 其分布为Expa ）样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命；记第i 个电容器的寿命

为

样本

的分布为

其中

.

则

这给出

二、证明题

9． 设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

由

因而

所以

10．设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

与的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

由于,

, 证明:当

时, 随机变量

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

按分布收敛于标准正态变

可

得