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一、证明题

1． 设

和

为正项级数，且存在正数收敛，则级数

时

，

对一切

证明:若级数【答案】由题意

也收敛；若，从而

又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则， 若级数

收敛，则级数

也收敛；若

发散，则

发散.

2． 在曲线y=x3上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q , 证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

【答案】设曲线切线方程为交点为

因此, 3．

使得

【答案】根据题意,

满足

则

易知显然由⑴若若①

当

②当（2）若①当

时, 取

时

,

又

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，有

发散，则

也发散.

上点P 坐标为

,

即. 曲线

由由方程组

得该曲线过点P 的切线斜率

,

,

解出切线与曲线的

在Q 点的切线斜率

, 即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

证明存在非负单调数列

, 则

.

则

, 若

则

则由推广的罗尔定理知, 存

在

, （或者用保号性及介值定理, 存在

, 使

得

时, 由于

.

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使得

②当存在

使得

综上所述, 存

在

使

得使得

必有

时, 必有使

得再

由

结论得证.

在某在某

. 又

处达到最大值, 又

处达到最小值,

（或者用保号性及介值定理,

利用推广的罗尔定理, 存在> 利用推广的罗尔定理, 存在

使得

这样继续下去, 得到存在

非负

的单

调增数列

二、解答题

4． 设某流体的流速为V= （k , y , 0）, 求单位时间内从球面

【答案】设流量为E

, 则

（其中

利用球坐标变换计算）

5． 求下列由参量方程所确定的导数

（1）（2）【答案】（1）故

当（2）故

时,

处 处

的内部流过球面的流量.

6． 求下列函数f 的黑赛矩阵, 并判断该函数的极值点:

（1）（2）

【答案】（1）因为

, 其中

,

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故可知, 的黑赛矩阵

,

的稳定点

所以黑赛矩阵A 是正定的, 故x 0是f （x ）的极小值点. （2）因为

其中

由此可知, 的黑赛矩阵

的稳定点

又

所以黑赛矩阵为不定的, 故x 0不是极值点

.

7． 试确定的值, 使下列函数与当

（1）

（2

）

【答案】（1）因为

所以, 当（2）因为当

时,

时,

所以, 当（3）

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时为同阶无穷大量: （3）

与当时为同阶无穷大量.

时与当时为同阶无穷大量.