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一、证明题

1． 设

在

上连续并且单调递减, 证明:函数求导, 得

由即函数

2． 设

在

上连续且单调递减, 得

在f

:

上单调递减. , 且存在正实数

与

利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为

, 有

所以

, 即f

:

, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.

3． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:

【答案】两次应用洛必达法则得

4． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当

【答案】由题设条件可得

故

在单调递减.

【答案】对

所以

, 对一切

, .

满足

时, 有

所以

二、解答题

5． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积

.

图

【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到

6． 应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）:

（1）（2）（3）

因

时, 级数收敛, 故原级数的收敛半径R=l.

, 发散, 从而得收敛域为（一1, 1）.

, 在

内逐项求导, 得

故和函数

（2）记因为

所以

. 因为

,

所以

收敛区域为（﹣1, 1）.

【答案】（1）设

又当设

时, 原级数可化为

（3）记因为

, 则收敛区域为（﹣1, 1）.

所以

所以

因此

7． （1）讨论函数

（2）求函数【答案】 （1）显然

在

,

所以f （x , y ）在（0, 0）处不可微. （2）方法一作Lagrange

函数4

即

解得

在（0, 0）处的可微性. 下的最大值与最小值.