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一、证明题

1． 设f 为连续函数, 证明:

（1）（2）

’则dx=-dt, 于是有

（2）令由此得 2． 设

证明:【答案】因

即可.

设即所以故 3． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使使

又由

由迫敛性得

4． 证明公式:

,

这里

.

,

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【答案】（1）从所要证明等式的被积函数来看, 应作代换

, 则dx=—dt , 从而

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于

而

不可能在D 内部取得极值,

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

成立

故

最大值和最小值, 下证

, f （t ）在时为连

续函数.

【答案】设S 为球面

, 则有

考虑新坐标系O-uvw , 它与原坐标系O-xyz 共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有

在新坐标系O-uvw 中

,

.

, .

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为:

则dS=dudw, 从而

二、解答题

5． 设f （x ）在

【答案】由f （x

）在

时

有其中

. 对任意, 因f （x ）在

存在整数n , 使得

上有界, 所以存在M>0,

使得

,

.

上一致连续, 则存在非负实数a 与b , 使得对一切

上一致连续,

所以对

,

当

均有

,

且

因此, 当n 为正整数时有

当n 为负整数时有

由

知

, 代入上式得

记 6． 求分, 取外侧.

【答案】球面在点（x , y , z ）处的法向量为

, 由两类曲面积分的关系, 有

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, 则a>0, b>0, 使得

, 其中S 是球面

.

的第一卦限部

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其中

:

作极坐标变换

, 有

7． 设

存在连续的导函数, 有

试求:

【答案】作球坐标变换

则

于是有

8． 设:

二阶可导, 且有稳定点

; f

:

且

（1）试求f 的所有稳定点;

（2）证明f 的所有稳定点都是退化的. 即在这些稳定点处, 【答案】（

1）因为

r

令.

（2）设所以

即

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页

是退化矩阵（即在稳定点处）.

, 则设的稳定

点的全体

为D , 所以f 的所有稳定点的全体为

, x 0是, 的一个稳定点, 因为

*

为退化矩阵（n=1时结论不一定成立）.