2018年西北大学数学学院632数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 已知反常积分
【答案】注意到
因为反常积分另外
对于固定的
阿贝尔判别法知, 2． 设
【答案】先用数学归纳法可证:
再用数学归纳法证明:
显然
归纳假设
则
从而②式成立. 由①, ②式知.
单调递增有上界, 注意到
3． 设
, 证明函数
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
, 若在每个取点
若在每个
取点
,
使
为非有理点,
则
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收敛, 证明含参变量反常积分在[0, 1]上一致收敛.
收敛且与y 无关, 所以
都单调,
且在
在[0, 1]上一致收敛.
证明:
在[0, 1]上关于y 一致收敛.
时,
满足
, 即一致有界. 从而由
收敛, 并求其极限.
①
②
极限存在, 可设
, 使. 皆为有理数, 则
因此的极限不存
在（当时）. 即f （x , y ）在D 上不可积.
4． 证明:若S 为无上界数集, 则存在一递増数列
【答案】令且
. 如果已找到
.
令
使得
则存在
, 存在.
使得
再令
使得
则存在使得
.
即
使得
即
由
归纳原理知, 存在一递增数列
二、解答题
5． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积
.
图
【答案】椭圆柱面的方程为的性质有
, 解得
.. 于是
故所求体积
6． 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=akm的B 城如图, 轮船运费的单价是元/km, 火车运费的单价是元
/km省.
, 试求运河边上的一点M , 修建铁路MB , 使
的总运费最
. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形
图
【答案】设
, 则
, 总运费
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由经检验
得
, 舍去负值,
, 故M 点距C 点的距离为
.
（km ）时总运费最省.
7． 计算下列三重积分:
（1）（2）（3）
, 其中
, 其中
, 其中
及
; （
）所围区域;
, z=0
和x=h所围区域.
【答案】
（1
）因为
关于平面x=0对称, 被积函数关于z 为奇函数, 所以
（2）作变换于是
I
（3）作变换区域变为:
, 即, 从而
8．
设
（1）求f （x ）的傅里叶级数; （2）级数是否收敛? 是否收敛f （x
）
? （3）级数在【答案】（1）
内是否一致收敛?
上
, 则
,
, 则区域变为:
,
, 且
（2）f （x ）满足收敛定理条件, 所以f （x ）的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在
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