2018年西安理工大学理学院602数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设an ＞0, 证明级数
是收敛的.
【答案】显见级数为正项级数, 设级数部分和数列为则
即该正项级数的部分和S n 存界, 从而原级数收敛.
2． 设f （x ）在
（1）若
上连续, 0 （2）若 收敛, 则 【答案】（1） 其中 在 及 知 （2） , 类似于（1）的方法有 第 2 页，共 29 页 与之间, 在a 与b 之间, 令, 则, 由f （x ）的连续性 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 其中在与 之间, 令 则 , 由f （x ）的连续性及 收敛有 3． 设 【答案】因使得当令 收敛, 且 在 且 在 上一致连续, 证明 上一致连续, 故对于 时, 有 则由积分第一中值定理得, 使得 因也即取 收敛, 故级数故对上述的则当 收敛, 从而存在 使得当 即 时, . 时, 因 故存在惟一的, 使得. 易见, 且 从而 4． 设函数f 在 上二阶可导, , 证明存在一点 , 使得 【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为 t 第 3 页，共 29 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 由此得到 于是 其中 或 , 并且满足 . 二、解答题 5． 把函数 展开成傅里叶级数, 并由它推出 （1）（2）（3） 【答案】函数f 及其周期延拓函数的图像如图所示 . 图 显见f （x ）在 内按段光滑, 由收敛定理, f（x ）可展开为傅里叶级数, 因为 所以. 时 当x=0时, 上式的右端收敛到0. 第 4 页，共 29 页