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一、计算题

1． 设

（2）对

趋于0? 应该怎样做才对;

这个不等式成立的一个充分

时, 相应的时, 相应的

定

可找到相应的N , 这是否证明了

由

设

即可. 所以, 当当

（1）对下列分别求出极限定义中相应的N :（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意条件为

当

即

因此取

时, 相应的

（2）在（1）中对义,

对任意正数

（3）对任意的正数

都找到了相应的N. 这不能证明趋于0, 应该根据数列极限

求得

时, 都有

则当

都找到相应的N. 对于本题,

由

, 若存在N , 使得当

这样才能证明

时, 也成立. 因此, 对给定的, 若能找到一个N , 则可以找到无穷多个N.

2． 应用格林公式计算下列曲线积分:

（1）方向取正向;

（2）上半部的路线

.

其中m 为常数, AB 为由（a , 0）到（0, 0）经过圆

其中L 是以A （1, 1）, B （3, 2）, C （2, 5）为顶点的三角形,

图

【答案】（1）

各边方程为:

（2）由于AB 不是封闭曲线, 则加一段

, 有

3． 在曲面z=xy上求一点, 使这点的切平面平行于平面x+3y+z + 9 = 0, 并写出这切平面方程和法线方程.

【答案】设所求点为

点P 处切平面法向量为

要求切平面与平面x +3y+ z+9=0平行, 故且点P 处的切平面方程为法线方程为

从而

即x+ 3y +z +3=0.

即3 （x+3） =y+l=3 （z —3）.

得P 点为（-3, - 1, 3）

4． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米, 高为20米. 计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.

【答案】如图所示, B 、C 的坐标为（0, 5）和（20, 3）于是BC 的方程为

深度为X 处水的静压强为pgx , 闸门从深度x 到故

这一窄条

上受到的静压力为

图1

5． 设f 在[a, b]上可积, 且

【答案】

, 试问

在[a, b]上是否可积？为什么？

在[a, b]上是可积的. 事实上, 由于f （x ）在[a, b]上可积. 从而有界, 设

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任给当

, 由于在. 且

上一致连续, 因此对上述, 存在时, 有

（*）

由于f （x ）在

[a, b]上可积, 对上述正数和由可积第三充要条件知, 存在某一分割T ,

使得在T 所属的小区间中,

注意

而这些小区间的长至多为

6．

设函数

则存在

在含有

使得

有

而

故有

令

则有

即

的所有小区间

上, 于是

的总长, 即

:而在其余小区间. 由式（*）知另一方面, 至多在

.

故由可积的第三充要条件知

上

, 在[a, b]上可积

.

上

由以上可知, 在T 的小区间

的某个开区间内二次可导

, 且

【答案】由Taylor 定理得,

对

二、证明题

7． 证明:当

【答案】因为

所以

时