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一、证明题

1． 试证明:函数F （x , y ）在点一阶偏导数）.

【答案】F 的等值线为F （x , y ）=c, 它在点故等值线在点

的法向量

的切线方程为

即结论成立.

, 它把函数f （x ,

2． 设f （x , y , z ）有连续的偏导数, 作自变量变换:y , z）变成F （u , v , w）. 证明:

【答案】方法一对t>0, 若将u , v , w 都换为tu , tv , tw, 则相应地x , y , z 也换成了 tx , ty , tz , 即

在上式两边关于t 求导得

令t=1可得

方法二由f （x , y , z ） =F（u , v , w ）, 利用一阶微分形式的不变性可得

由变换式可知,

的梯度恰好是F 的等值线在点

的法向量（设F 有连续

由此易知, 当du=u, dv=v, dw=w时, 有

反之也如此, 这表明结论成立.

3． 证明:若

【答案】（1）若因

为

（2）当且仅当

时, 由

可推出

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当且仅当a 为何值时反之也成立? 则对任意

存在N , 使得n>N时,

当

时, 也

有

于

是

所以对于任

意

此时, 命题变为:

证明如下:由于是

如果

知, 对任意数列

存在N , 当满足

时,

但数列

即是发散的.

4． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:

（1）设（2）设（3）设（4）设可导. 而题设矛盾

.

（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误. 如取在

不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.

, 求证:方程

f （x ）=0在（a

, b ）内如果. 事实上, 由假设

其次, 假定存在证明可得

这与

6． 证明函数

在区间

上不一致连续, 但是对于任意

则

上不一致连续.

则存在

取

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, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导,

则f 在点x 0—定不可导.

,

, 则

, f （x ）在

处

与

在x 0=0处都不可导.

在x 0也可导. 这与

处处可导. 但

【答案】（1）命题错误. 如取

（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点x 0可导

, 又因在点x 0也可导,

则

（狄利克雷函数）, 则, 则

在

可导.

5． 设f （x ）是非负函数, 在[a, b]上二阶可导, 且有根, 就只能有一个根

.

【答案】

设

, 使得

.

首先有.

,

（不妨设

再在的假定矛盾.

上对

, 使得

用罗尔中值定理, 则存在

）那么根据上述

, 使得

在上一致连续.

【答案】（1）方法一取从而

在区间

方法二 取

虽然满足使得（2）当

时,

但是存在从而

在区间当

上不一致连续. 时, 有

取即

在

时, 有

上一致连续.

二、解答题

7． 周期函数的原函数是否还是周期函数？

【答案】

设F

（x

）是f （x

）的原函数, 且

因此, F （x ）也是周期函数.

8． 求积分

【答案】而

所以

又因为

所以

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.