当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 证明:

【答案】方法一用积分中值定理. 因为

而

所以

方法二用分部积分法. 因为

而

所以

故

2． 证明:级数

【答案】考察

第 2 页，共 33 页

,

发散于.

显然m 适当大时, 有

. , , 使

, 由于级数的通项趋于0, 故当

从而.

3． 利用级数收敛性, 证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为x n , 所以证

存在归结

【答案】令为证级数收敛. 因

由于若记

, 推出级数, 则

丨.

4． 若f 在[0, a]上连续可微, 且f （0）=0, 则

【答案】因为

且

由施瓦兹不等式可知,

因此

5． 证明下列函数在x=0处不可导:

（1）（2）

【答案】（1）因为

第 3 页，共 33 页

收敛, 也就是存在, c 称为欧拉常数,

, 所以

' ；

, 所以

在x=0处不可导.

（2）先求, 当时, . 于是

再求, 当时, , 于是

因为

6． 证明定理得

, 所以在处不可导.

【答案】 （1）先证定理 （连续性）若函数项级数都连续, 则其和函数在[a, b]上也连续.

设则

为[a, b]上的任意一点,

为级数

在区间[a, b]上一致收敛, 且每一项

的部分和函数列,

因为有

, 故对任意在[a, b]上一致收敛于S （x ）存在N , 使得当n>N时, 对一切

且

又由使得当

从而上连续.

（1

）下面证定理（逐项求导）若函数项级数数

,

为

的收敛点, 且

在[a, b]上每一项都有连续的导函

在[a, b]上一致收敛, 则

不妨设级数性可知,

在[a, b]

上一致收敛于

由

对

第 4 页，共 33 页

连续可得

,

且

时, 有

在[a, b]上连续, 故对上述的

. 存在

,

所以的和函数S （x ）在处连续. 由的任意性, S （x ）在[a, b]

连续及的一致收敛

在[a, b]上连续. 又由定理得, 对任意

两边求导, 得, 即