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一、解答题

1． 利用适当的坐标变换, 计算下列各曲面所围成的体积:

（1）（2）

【答案】（1）令

从而

（2）令

则

从而, 所求体积

2． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）由可得

.

于是

而

（2）当

由迫敛性得时,

于是

,

又因为

故由迫敛性得:

（3）因为因而有

（4

）令

所以

于是又因

则有

于是

3． 设

0, 求由平面

所界平行六面体的体积. 【答案】令

则

所以平行六面体体积

因为

所以

由此可知,

, 由迫敛性可得

4． 计算曲线积分, 其中L 是曲线

从z 轴的正向往负向看去L 的方向是顺时针方向. 【答案】方法一（用参数方程求解）令

故

方法二:

（用斯托克斯公式求解）设S 为平面x －y+z=2上以L 为边界的有限部分, 其法向量与z 轴正向的夹角为钝角. 则

由斯托克斯公式可得

其中

.

5． 利用归结原则计算下列极限:

（1）

【答案】（1）令

（2）, 则有

由归结原则, 得

（2）令

, 则

由归结原则, 得

. 则

为S 在xy 平面的投影域, 即D xy :.

记,