2018年南京理工大学理学院616数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在
【答案】令
连续, 在（a , b ）内可导, 且有
故由罗尔中值定理知, 存在
, 使得
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导.
, 则F （0）=0, 且
【答案】令
, 使得
, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上
, , 即
求证:
, 使得
»
由此推出
下面分两种情况讨论: 第一种情况, 使得第二种情况
, 使得
使得
3． 设正项级数
【答案】
收敛. 证明:级数收敛, 则
令
则
, 级数
的部分和为
从而级数
收敛.
也收敛, 其中
.
,
即得,
即得
.
则
.. 根据罗尔定理, 有
*
, 从而本题得证.
与F （1）异号,
于是根据连续函数的中间值定理可知上用罗尔定理, 有
. 从而本题也得证.
现在对F （x ）在
4． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性:若函数
在点
连续, 而且
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. 则函数在点的某一邻
域内与【答案】设同号, 并存在某个正数
则存在r , 使使得当
时
时, 有
使得对任意
取
因为
在点
处连
续, 所以存在
从而当当
时,
任取
使得在其上
即
5． 证明:
（1）grad （u+c）=gradu（c 为常数）； （2）
（3）（4）【答案】设（1）（2）
（3〕
（4）
6． 设f 是定义在
上的一个连续周期函数, 周期为p , 证明
【答案】
及
, 使得
. 于是由周期函数的积分性质, 得
因
及
则
（
为常数）
可见
在
上与
同号且
由上可知存在
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所以
二、解答题
7． 设
（1）求证:（2）求【答案】（1）
化简即得
方程, 两
边求n 阶导数, 得
化简得
由此, 令x=0,
得
, 这是
的递推公式, 根据这个公式,
有
, .
为了求
,
对第（1
）小题所证的
（2）显然y （0）=0, 由第（1）小题知
. ,
;
8． 设V （t ）是曲线
.
【答案】由旋转体体积公式可得
所以
故
9． 设
又因为是有界闭集, f :
所以
, 如果
, 都满足
,
在
上的弧段绕x 轴旋转所得的体积, 试求常数c , 使
则A 中有且仅有一点x , 使得f （x ）=x.
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