2018年南京航空航天大学理学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设
【答案】由又
计算积分
而
收敛可得级数
在[﹣1, 1]上一致收敛.
在[﹣1, 13]上连续, 从而由定理知
2． 求由抛物线
与所围图形的面积.
【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为（-1, 1）和（1, 1）, 所围图形的面积为
图
3． 试作一函数
使当
时,
（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数
满足
因为
故
不存在，
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（2）函数同理
满足
也不存在. 但是
不存在.
（3）函数因为在（4）函数
满足当满足
时，重极限和两个累次极限都不存在，
不存在但是
时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的.
4． 指出下列函数的间断点并说明其类型:
（1）（2）（3）（5）（7）
（4）（6
）
.
,
所以x=0为第
【答案】（1） f
（x ）仅有一个间断点
x=0.因为二类间断点.
（2
）f （x ）仅有一个间断点x=0.因为
所以x=0是f （x ）的第一类间断点且为跳跃间断点. （3）
是该函数的可去间断点.
（4）（5）因为
故
其中
. 因为
, 而
, 所
以
, 而f （0） =0.于是x=0为该函数的可去间断点.
其中. 又因为
所以（6）当
为函数的第一类的跳跃间断点.
时, 存在有理数列
和无理数歹
使得
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所以由于（7）于是,
函数的第二类间断点.
, 故x=－7为函数f （x ）的第二类间断点.
故x=1是函数f （x ）的第一类的跳跃间断点.
5． 求下列各函数的定义域, 画出定义域的图形, 并说明这是何种点集:
（1）（2）（3）（4）（5）
（6
）（7）（8）（9）（10）
【答案】（1）函数的定义域为
是无界开点集, 如图1.
.
而
, 根据函数极限的归结原则,
. 与
都不存在. 所以当
时,
是
图1
图2
（2）函数定义域为（3）函数的定义域为
是无界开点集, 如图2.
是无界闭集, 如图3.