2017年长安大学理学院609数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设则必是则存在一点
使
取
在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。
在I 上的最大值点，
在
使得
(
不妨设则当
) 。由连续函数的最大最小值定理知
，
而是
时，
的一个极大值点，所以存在
即是
的一个极小值
证明：若是的极大(小) 值点，
【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是
上存在最小值m 。因为
点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。
2． 设f 在上连续，且对任何存在.
存在最小值定理知
若若
则
使得
在
上连续可知命题得证.
使得
使得
【答案】由f (x ) 在在上也连续. 由连续函数的最大、
上有最小值. 设这个最小值为
由题设知存在
在证明：
这与m 是
3． 设
上的最小值矛盾. 于是
即存在
使得
并讨论备不等式中等号成立的条件和解释【答案】由三角不等式有
即
又
即
所以丨
等号成立的条件为
(k 为实数) ，
当
时等式的几何意义
为：任一三角形中一边大于或等于另外两边之差。
时的几何意义。
4． 设D (x ) 为狄利克雷函数
，
【答案】
令
和无理数
，
使得在.
对任意的
证明于是
不存在.
中存在有理数
不存
根据柯西准则，
由有理数和无理数的稠密性可知，在
二、解答题
5． 设
且
考察级数可知
而
所以
即所考察的级数收敛。但由
可知，
6． 设
在
发散，故原级数为条件收敛。 上连续可导，且
求证：
【答案】设显然
满足
满足（2）式. 于是
所以
即（1）式成立。
的绝对收敛性。
【答案】由
7． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米. 计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。
【答案】如图所示，B 、C 的坐标为（0, 5）和（20, 3）. 于是BC 的方程为
深度为x 处水的静压强为
闸门从深度x 到
这一窄条上受到的静压力为
故
图
8． 求下列极限(其中
(1
) (2
)
【答案】(1) 考察级数因P>1，故级数
收敛，据柯西收敛准则，任意
存在N ，当n>N时，有
从而，原式=0. (2) 考察级数因P>1时级
数
收敛，故由柯西收敛准则，任
意从而，原式=0.
9． 若L 是平面其中L 依正向进行。
【答案】因
故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得
上的闭曲线，它所包围区域的面积为S , 求
存在N ，当n>N时
，
) ：
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