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一、证明题

1． 证明下列函数在x=0处不可导：

【答案】(1) 因为(2) 先求

当

时

于是

再求

当

时

于是

因为

2． 设与都在

所以上可积，证明

在也可积。又

且可积函数的和、差、数乘仍可积，所以

3． 证明在

【答案】设所以

在

上严格单调递增.

即

设所以g (x ) 在于是当

时，有

因为

上严格单调递増.

即

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所以在x=0处不可导.

在x=0处不可导.

上也都可积。

可积知.

在

上可积，从而

在

上

【答案】由

在上均可积。

上，. 则

所以当x>0时，有.

'

故对

4． 应用

(1) (2)

成

证明：

在任何

上

一致收敛，

【答案】(1) 证法一：由于

所以

另外

所以

证法二：

(2) 由

在任何

上

一致收敛，所以

另外

所以

二、解答题

5． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数。

【答案】

是此函数的第二类间断点，但它有原函数

另外，狄利克雷函数

其定义域R 上每一点都是第二类间断点，但

无原函数。

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6． 求极限

【答案】由可得

于是，

原极限

7． 设

【答案】

8． 求下列函数的偏导数：

【答案】

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试按的正数幂展开