2017年长春师范大学数学学院861数学分析[专业硕士]考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若f 在
【答案】
设
上连续，且对任何
设
上恒正.
则假设
则有
知
. 这与题设矛盾. 故
3． 设z=f(x ，y ) 在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且
证明：z=f(x , y ) 的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.
【答案】由f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，所以f (x ，y ) 在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点(X ，y ) , 记
由已知条件知
所以
故D 内任一点都不可能是极值点，因此f (x ，y ) 的最大值与最小值只能在D 的边界上取到. 4． 设f 在点证明：
【答案】由于
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则f 在由题设
知
上恒正或恒负.
假
如
使得
那
么
异号，由根的存在定理知，在区间
这与题设矛盾. 故即f
在
2． 证明若f 为周期函数，且
【答案】用反证法. 设的周期为
内至少存在一点
时同理可证f (x ) 恒负. 则存在
使得
作数列
由归结原则
可微，且在给定了 n 个向量相邻两个向量之间的夹角为
所以
而
故
二、解答题
5． 用极坐标计算下列二重积分
【答案】⑴
(2) 应用极坐标变换后积分区域
从而
(3) 原积分(4)
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6． 求级数
【答案】方法一 令
由逐项积分定理得
的和.
，容易求出此幂级数的收敛半径R=l，
且
令
则由(1) 式得
从而即得
于是
容易证明
. 收敛，再根据阿贝尔引理得
方法二 先对原级数进行如下分解:
又由逐项积分定理，
有
再由阿贝尔引理得
联合(2) ，(3) 式得
7． 设
【答案】
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