2017年长安大学理学院609数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：函数
【答案】因为
所以 2． 设
【答案】
由题设
于是原命题得证.
3． 证明级数
【答案】因为按对角线相乘可得
*
所以两级数的乘积为
4． 设角是常数).
【答案】
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为常数) 满足热传导方程：
证明
介于1与之间.
可知
与绝对收敛，且它们的乘积等于
故级数
.
绝对收敛，同理
也绝对收敛，
之下
则必有
是一(其中旋转
可微，证明：在坐标旋转变换
个形式不变量，即若
故
二、解答题
5． 设
【答案】对
取
，指出
可能的间断点为
则当
树，
的所有间断点，并讨论它们的类型.
但
故对
为第二类间断点；
由于
所以
是连续点；
也是连续点；
是连续点，否则为第一类间断点.
类似地讨论可知，对
易知
由此可见，当是完全平方数时，类似可讨论
的情形.
6． 求下列极限（其中n 皆为正整数）
.
.
【答案】
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（4）由公式
（5）由迫敛性知得
可知，当
故
时，有
当
时，有
根据
7． 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
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