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一、证明题

1． 证明施瓦兹

【答案】若

也可积，又

即

由此推得关于的二次三项式的判别式非正，即

故

2． 叙述函数极限且趋于

的数列

的归结原则，并应用它证明

内有定义，都存在且相等.

在但

3． 设数

列成立. 证明：函数

【答案】

由

上连续，

所以对任意固定的

处间断，

处间断， 上连续.

在

处连续，

为中互不相同的点列

，

在

内有定义

.

由归结原则知为函

数

在

在

上一致收敛

，不存在.

上的惟一间断点.

设

均则

有

，极限且

不存在

存在的充要条件是：对任何含于

与

不等式：若f 和g 在可积，则故

上可积，则

都可积，且对任何实数

【答案】(1) 归结原则设f 在(2) 证明如下

：

玍上一致有界，即存在正数M 使得

内的间断点集为

知

对所有的与所有

故函数

4． 用定义证明：

【答案】先写出

当

具体到本题，由于

在内的间断点集为

的精确数学定义

.

和

时，有

所以

取

当

时，有

即

二、解答题

5．

设

是区

域

上的有界k 次齐次函

数

问极

限

是否存在? 若存在，试求其值

【答案】令

6． 设

在

上有界，

存在，且

另一方面，

由

有界，

知

由于

是区域上的有界k 次齐次函数，

【答案】一方面，由洛必达法则

，

从而

7． 设

【答案】令

求

则

即

8． 设S

是椭圆面

为点

的上半部分，

点到平面的距离，求

为S 在点P 的切平面

，

【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为

由此易知

由S 的方程

有，

于是

其中

是S 在

平面上的投影.

作极坐标变换容易求出：

9． 设

【答案】

10．求空间曲线

上对应于点x=l的处的切线方程与法平面方程. 【答案】当x=l时，有

为单位球面

计算曲面积分