当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

是区间I 上有界且一致连续的函数，求证：

在区间I 上有界，则存在

存在

从而

所以

2． 试应用

在区间I 上一致连续. 定义证明

肘，

从而对任给

取

则当

时，

所以

3． 设函数

得

【答案】由

在含有

的某个开区间内二次可导，

且

定理得，对

有

而

故有

令

则有

即

第 2 页，共 27 页

在I 上一致连续.

使得

使得当

^

再由时，

有

【答案】由于

的一致连续性得到，

对于任意

【答案】因为当

则存在使

4． 设函数f 在区间上满足利普希茨(Lipschitz ) 条件，即存在常数

使得对上任意两点

都有

证明:f 在上一致连续. 【答案】对任给的

取

则当

且

时，有

故f 在I 上一致连续.

二、解答题

5． 计算积分

【答案】令

6． （1）设

（2）设

是三次多项式，且有

求

【答案】（1）由假设可知

，其中为

时的无穷小量. 而

所以

进而

从而

.

（2）由已知条件可知

，

都

是的因子，其中A ，B 待定.

于是有

第 3 页，共 27 页

故可

令

联立（1）、（2）求解得即

故

7． 若曲线以极坐标线积分：

(1) (2) 且

8． 求

是以为周期的连续函数，故有

对

作变换

则有

即

对

作变换

类似于上面，则有

第 4 页，共 27 页

表示，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲

其中L 为曲线其中L 为对数螺线

的一段； 在圆

内的部分.

【答案】因L 的参数方程为

【答案】由于被积函数