2017年内蒙古师范大学数学分析(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性：
(1
) (3
) (5
) (7
) (2)
因(3)
因(4)
因(5)
因(6)
因
所以原级数发散. (7
)
2． 设
故
时原级数发散，
且
时原级数收敛.
是退化矩阵(
即在稳定点处
(2)
(4) (6) (其中
且
所以原级数发散. 所以原级数收敛.
故
，故原级数收敛.
，故
所以原级数收敛.
). 故
所以原级数发散.
【答案】(1) 因
二阶可导，且有稳定点；
(1) 试求的所有稳定点；
(2) 证明的所有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处
，
【答案】(1) 因为
令(2)
设所以
即
3． 设
【答案】(1) 由
为退化矩阵(
时结论不一定成立) 。
则
设的稳定点的全体为D , 所以的所有稳定点的全体为
是，的一个稳定点，因为
试求
，得
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(2)
设则
得
及
，
到
的距离平方和最小. 的距离为
到
的
4． 在xy 平面上求一点，使它到三直线
【答案】设所求的点为距离为
它到三直线的距离平方和为
它到x=0的距离为
由
得因为
的极小值点，由实际意义知，其为Z 的最小值点，最小值为
5． 设
在
上连续可导，且
因此
为z
求证：
【答案】设显然
满足
满足（2）式. 于是
所以 6． 设
【答案】记
则，
试证：当
时，显然
即（1）式成立。
在
上连续，所以可在积分号下求导，即
令
从
当x = 0时
，
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则
(C 为常数) ，
所以
故
因此，
当
时
，
二、证明题
7． 设
求证：【答案】
在
由
且
上一致连续.
推知
使得当
又由
推知
使得当
时，有
所以
在
另一方面，
因为函数
使得
这样，当①若②若③若或
. 由⑴式得，由(2) 式得，
则有
且
时
由(3)
式知
根据定义，即得
在
上一致连续，
于是
时，有
(
一上一致连续.
8． 1) 证明：若数列满足下列条件之一，则
2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：
是无穷大数列：
1)(1) 因为【答案】时，
于是
由此得，当n>N时，所以
也是无穷大数列.
，设r 是一个满足不等式
于是，当n>N时，
因为r>l, 所以
2)(1)
是无穷大数列. 因此，
是无穷大数列，
即
是无穷大数列.
的实数，由数列极限的保号性知，存
(2) 因为
，
由
知
是无穷大数列，
所以对于
存在正整数N ，使得当n>N
在正整数N ，使得当n>N时，
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