2017年内蒙古工业大学数学综合之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列函数的极值：
【答案】（1）由
当
当当故
当值点，极大值为
（2）
由
得稳定点
和
于是，
的极小值点，极小值为
（3）
由
得稳定
点故
由
于
故
不
是
故
的极值点
；
是
的极小
是极大值点，极大值为
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得把
的定义域分为四段：
由
得
而
均不
属于故
舍去
是
时
，
时
，
时
，
是
的极大值点。
时，无极值点
均是
由
得
由
舍去
得
的极大值点。
显然上述区间的分界点
的极小值点，
极小值为
是的极大
故
是的极大值点，极大值为是
值点，极小值为
2． 求空间一点下的最小值问题.
' 到平面
的最短距离.
在条件
【答案】由题意，
相当于求
由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在.
设
令
由
代入|解得
所以
故
为所求最短距离. 3． 设
其中
为由方程
得
听确定的隐函数，求
及
得
【答案】由方程因
故
4． 求函数及它们的模.
【答案】
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在点及点：处的梯度以
于是
5． 求由椭圆
【答案】设
所界的面积，其中则
所以椭圆面积
6． 利用迫敛性求极限：（1）
【答案】（1）因为于是
而
由迫敛性得
（2）因为又因为
所以当
时
（2），
所以当
时
由迫敛性得
二、证明题
7． 设f 为定义在
上的连续函数，a 是任一实数，
证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点
因为f 在连续，从而由连续函数的保号性知，
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