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一、解答题

1． 求下列函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是以为周期的连续奇函数，故

由收敛定理

(2) f (x ) 是以2π为周期的连续偶函数，故

由收敛定理

2． 求下列极限：

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【答案】

3． 设

【答案】

由

又

4．

把

其中f (u ) 为连续函数.

【答案】令

则

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求的定义域和解

得

从

而

的定义域

为

上的

重积分化为单重积分，

由于

所以

5． 求两曲面

【答案】对方程

关于Z 求导得

解得

因此交线在

6． 应用中值定理估计积分

【答案】由于在

使得

从而

的值.

上连续，据中值定理知：存

面的投影曲线的切线方程为

的交线在

平面上的投影曲线的切线方程.

二、证明题

7． 若

在R 上存在三阶连续导数，且

有

证明:将.

至多是二次多项式.

在x 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中，比较两端可得

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【答案】只需证：