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一、计算题

1． 一工厂的两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（ppm ）一次，下面是7天的记录:

室甲:室乙:

设每对数据的差差异？

不难算出

于是

，

来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著

【答案】这是成对数据的比较问题，7个值为

检验的p 值为0.4887, 不能认为两化验室测定结果之间有显著差异.

2． 设P （AB ）=0, 则下列说法哪些是正确的？

（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P （A ）=0，或P （B ）=0; （6）P （A-B ）=P（A ）.

【答案】为了回答这个问题，先要明确一个命题:不可能事件的概率为零，但反之不然，即零，概率事件不一定是不可能事件，譬如，向区间[0, 1]上随机投点（其坐标记为x ）则点x 落在[0.2, 0.5]和[0.2, 0.5）内的概率皆为0.3, 这说明事件“x =0.5”的概率为零，但它是可能发生的事件.

（1）不正确，如A =[0.1, 0.2], B =[0.2, 0.3]. （2）不正确，如A =[0.1, 0.2），B =[0.2, 0.3]. （3）不正确，如（1）中的反例. （4）正确.

（5）不正确，如（1）中的反例. （6）正确.

3． 某防治站对4个林场的松毛虫密度进行调查, 每个林场调查5块地得资料如下表:

表

1

判断4个林场松毛虫密度有无显著差异, 取显著性水平【答案】记四个林场松毛虫的平均密度为则所述问题为在显著件水平

下检验假设:

不全相等

由已知得

.

, 则

的自由度分别为

表

2

, 从而得方差分析表如下:

因, 故在显著性水平下拒绝. 认为差异是显著的.

4． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】两个球颜色相同有两种情况:全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得

5． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数

表

【答案】

6． 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本，其样本方差分别为试求

则

有

于

是

【答案】不妨设正态总体的方差

为

利用统计软件计算可算出

譬如，可使用这里的

软件计算上式:在命令行输入就表示自由度为

则给出

的F 分布在x 处的分布函数.

7． 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p , 任意调查n 个成年男子，记其中的吸烟人数为m , 问n 至少为多大才能保证

【答案】因为

与p 的差异小于所以

的概率大于

根据题意有

由此得

查表得

因为

所以当

时，必可满足要求，因此至少抽9604个成年

男子，可使其吸烟频率与实际成年人中吸烟率p 的误差小于的概率大于

8． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数.

则

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

，

即

上述不等式可简化为

，或

或