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一、证明题

1． 设总体X 服从于证明：

【答案】由X 服从又则

又故 即证

2． 设为

【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，

此可作为枢轴量，对给定

利用标准正态分布的

分位数

括号里的事件等价于

. 因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

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, 且分布、是

的无偏估计置.

其中分布可知, 是

的无偏估计量

为总体的样本,

是

的无偏估计量. 是来自泊松分布

的样本，证明:当样本量n 较大时，

的近似

置信区间

，因而

可得

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有其中

和

可表示为

，

和，

这就证明了的近似

置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

于是，的近似

3． 设

置信区间可进一步简化为

为独立随机变量序列，且

证明:

服从大数定律.

相互独立，且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知 4．

设明:

由又因为故有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

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【答案】因

服从大数定律.

为绝对收敛级数.

令即可.

证

为独立同分布的随机变量序列，方差存在.

又设服从大数定律.

否则令

因为

并讨论

【答案】不妨设

知

为绝对收敛级数，可记

5． 设随机变量X 取值

【答案】

6． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,

有

【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有

7． 用概率论的方法证明:

【答案】设故

服从参数

为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数

又由泊松分布的可加性知，

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知

8． 设

【答案】若

证明

:

服从贝塔分布，并指出其参数.

则X 的密度函数为

由其反函数为

上是严格单调增函数，

的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

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的概率分别是. 证明

:

.

的泊松分布

其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.