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一、计算题

1． 某地区漏缴税款的比率X 服从参数a=2, b=9的贝塔分布，试求此比率小于漏缴税款的比率.

【答案】贝塔分布

的密度函数为

因为

，所以

，因此

2． 设总体为估计.

【答案】由题意知，观测值为正的频率

下面计算观测值为正的概率. 当总体为

其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为

譬如，若设

则由上式知是标准正态分布的

3． 某种圆盘的直径在区间（a , b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.

【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为

，所以平均面积为

4． 设二维随机变量成的三角形区域.

（1）求X 的概率密度（2）求条件概率密度

；

.

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的概率及平均

现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的

时，

分位数，

服从区域G 上的均匀分布, 其中G 是由与所围

【答案】 （1）

的概率密度为

X 的概率密度为

①当②当③当综上所述

（2）Y 的概率密度为

在

时, X 的条件概率密度为

5． 某单位有一台电话总机和200台电话分机, 在同一时刻每台分机以0.05的概率使用外, 且每台分级使用外线与否是相互独立的, 试用中心极限定理估计该单位总机需多少条外线, 才能保证每台分机以90%的概率使用外线.

【答案】设同时使用紫外线的分机数为X ,

设此单定安装的外线共有N 条, 则应用中心极限定理

又查表知

则

故至少要安装14条外线.

6． 为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位:g ）:

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或

时, 时,

时,

即

假定新生女婴体重服从正态分布，

问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取）？

【答案】设冬、夏两季新生女婴的体重分别服从

因而，考虑检验统计量

所以不拒绝原假设，不能认为女婴体重的方差是“冬季的比夏季小”

7． 口袋中有5个白球和3个黑球, 任意取出一个, 如果是黑球则这个黑球不再放回而另放人一个白球. 这样继续下去直到取出的球是白球为止, 求直到取到白球所需要抽取次数X 的概率分布.

【答案】设故得:

即知X 的概率分布如下

表

8． 设随机变量X 的密度函数为

如果【答案】由

，求a 和b.

得

又由

得

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考虑检验问题:

表示“第i 次取到白球”, 则X 的可能取值为1、2、3、4.