2018年同济大学经济与管理学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体X 的概率密度为如下样本值:
求的矩的估计值和最大似然估计值. 【答案】因为所以（1） 令
, 所以的矩估计值为
（2）现在求最大似然估计值. 在给定的8个样本值中, 属于
的有5个, 属于
的有3个, 所以似然函数为
取自然对数得
两边对求导得
故
的最大似然估计值为
于是
,
其中
是未知参数, 利用总体X 的
2． 设随机变量X 的密度函数为
试求X 的分布函数.
【答案】由于密度函数p （X ）在分四段设立，具体如下:
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上分为四段（如图），所以其分布函数也要
图
综上所述，X 的分布函数为
3． 掷一颗均匀的骰子2次，其最小点数记为X , 求
【答案】X 的分布列为
表
所以
4． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0, 1），试求以下Y 的密度函数:
（1）【答案】（1）
；（2）
, 所以
当
Y 的密度函数为时，
对上式两端关于y 求导得
所以Y 的密度函数为
这个分布被称为半正态分布. （2）
的可能取值范围为
Y 的密度函数为，所以当y ≤ 1时，
； ；
的可能取值范围为
当y >0时，Y 的分布函数为
当y>1时，Y 的分布函数为
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对上式两端关于y 求导得
所以Y 的密度函数为
5． 试证:概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0, 则任对事件B 有从而得
6． 设
，所以由概率的单调性知
，
，所以A 与B 独立.
是来自对数级数分布
的一个样本，求参数p 的矩估计. 【答案】由于
因此有
从而得到p 的一个矩估计
7． 设总体x 的概率分布为
表
1
其中
,
试求常数【答案】由题设可知, 故
, 于是要使
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未知, 以表示来自总体X 的随机样本（样本容量为n ）中等于i
的个数, 使:.
为的无偏估计量, 必有
为的无偏估计量, 并求T 的方差.
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