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一、证明题

1．

在[a, b]上有定义且在每一点有极限, 证明:【答案】反证法.

若

依次取

由的选取方法有

这与

在

处存在极限矛盾. 故

在

上有界.

2． 证明:定圆内接正行边形面积将随n 的增加而增加.

【答案】设圆的半径为R , 则该圆的内接正n 边形面积

令

则

于是当

时

,

, 故f （x ）

在

上严格递增. 因此, 数列

严格递增. 即圆内接正

n 边形面积将随n 的增加而增加.

3． 设正项级数收敛，证明

【答案】因为反之未必成立. 如

4． 设

并且对于任何

, 则有

对上式两边同时求导, 得

即

于是对两边取转置又得

.

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在

上有界.

使得

在[a, b]上无上界, 则对任意正整数n ,

存在

则得到数列

记

由致密性定理知, 存在收敛子列

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而有

常数, 证明

在比较原则可知级数发散.

收敛.

收敛，故

【答案】设

5． 设

【答案】因为

，证明:

所以

6． 证明

；

【答案】因为

可知对任意的此

7． [1]证明:若数列

[2]证明:若数列（1）级数（2）当（1）（2）（3）

【答案】[1]级数的前n 项和

.

而

，所以

即

[2] （1）级数的前n 项和

则

故级数发散.

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是[﹣1, 1]上的连续函数，且S （﹣1）存在.

而

在[﹣1，1]上一致收敛. |

因为

存在. 收敛于a ，则级数. 有

发散；

时，级数

.

，则

连续，所以

在[-1，﹣1]上连续，

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别法

[3]应用第[1][2]题的结果求下列级数的和.

（2）级数的前n 项和

即 [3]（1）记（2）

记（3）

记b=n+1，，则由第[2]题可得，原式=

2

，则

由第[1]题可得，原式=

.

. 则

由第[1]题可得，原式=-（-1）-0=1.⑴=1

二、解答题

8． 计算下列反常积分的值:

（1）（3）【答案】 （1）

（2）

（3）

（4）令

,

则

, 由（3）的结论得

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; （2）

（4）

;