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一、证明题

1． 证明不等式

【答案】作

则

所以

在

上严格单调减少, 而

因此, 在 2． 设

为

上, 有, 即

内的有界函数. 证明:

在内一致连续当且仅当

其中

【答案】因为在内有界, 则存在使得. 对任意利

用拉格朗日中值定理, 得

其中介于

和

之间, 显然有

于是有

由此可知

连续当且仅当,

在

内一致连续当且仅当

结论得证.

在

内一致连续

,

在

内一致

3． 设f , g为D 上的有界函数. 证明:

（1）（2）

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【答案】（1）对任意的有

于是

故

（2）对任意的

有

于是

故

4．

设

在[a, b]上逐点收敛且具有性质

：

在[a, b]上一致收敛.

在[a, b]上是等度一致连续的，又在[a, b]上一致收敛.

在有限闭区间[a, b]上连续，，则

在[a, b]上连续； 在[a, b]上一致收敛于，

当

.

时，不等式

，由此得

，

时，有

，n>Nx 时，

有

；对于任意的.

，使得当

，

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且时，有.

用有限覆盖定理证明

即由Osgood 定理，

得

【答案】由题设条件，知（Osgood 定理）设函数列如果（1）（2）答: （1）由对令（2）由

使得当由于且

在[a, b]上逐点收敛，

在[a, b]上等度连续，

在[a, b]上等度连续，得

对所有n=1, 2, …成立；

取极限得，

句上连续；

，

在x 处连续及[a, b]上等度连续，必存在

于是这些区间的并

构成[a, b]的一个开覆盖，即

令

，对任意

必存在

），使得

，对一切

上一致收敛.

. 证明

所以

从而

6． 设an ＞0, 证明级数

是收敛的.

【答案】显见级数为正项级数, 设级数部分和数列为则

即该正项级数的部分和S n 存界, 从而原级数收敛.

7． 应用

（1）（2）

【答案】 （1）证法一:由于所以

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中的某个开区间（

，当n>N时，有

于是，当n>N时，这就说明了

5． 设f 在[a, b]上连续

,

【答案】因为

成立.

证明:

在任何[c, d]上（c ＞o ） —致收敛,