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一、证明题

1． 设

, 在原点的某邻域内连续, 且

, 而

所以

2． 设函数

（1）存在（2）存在【答案】（1）因为同样由,

.

（2）由致密性定理知, （1）中的数列

存在收敛子列（不妨仍记为本身）, 记

此时的c 就是满足要求的点. 3．

在[a, b]上有定义且在每一点有极限, 证明:

【答案】反证法.

若

依次取

由的选取方法有

这与

4． 证明:

【答案】

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证明:

【答案】因为

在闭区间

上无界, 证明: 使得使得对任意的

的无界性知, 存在.

在使得满

足

上无界. 使得

所

以

.

在闭区间[a, b]上无界, 所以存在

如此继续, 可

得

在

上有界.

使得

在[a, b]上无上界, 则对任意正整数n ,

存在

则得到数列

记

由致密性定理知, 存在收敛子列

在处存在极限矛盾. 故为有界函数.

在上有界.

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于是, 对于

有界性定理知, 存在

故

5． 设u n （x ）是[a, b]上非负连续函数, [a, b]上一定达到最小值.

【答案】记设

列, 仍记为{x

k }, 不妨设

下证:u （x 0） =A. 反证法 若不然,

则由

, 使知,

, 使

, 当

由于S （递增, 故更有n x ）这样

便有

这与

6． 证明公式:

,

这里续函数.

【答案】设

S 为球面

, 则有

考虑新坐标系O-uvw ,

它与原坐标系O-xyz 共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有

在新坐标系O-uvw 中,

.

,

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, 存在, 使得当

时.

对, 有. 在[—M , M]上, 由连续函数的

. 于是, 对于一切

, 使得当

为有界函数.

在[a, b]上点态收敛于u （

x ）.

证明:u （

x ）在

, 则S n （x ）递增趋向于u （x ）, 且

则存在点列

且

, 使 .

时, 有

.

存在收敛子

. 由致密性定理知,

由S n （x ）在点

x 0处的连续性知,

. 于是存在适当大的k , 使,

相矛盾

.

. , , f （t ）

在时为连

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为:

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则dS=dudw, 从而

7． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为

【答案】（1）因为f 在正数M ,

因为f 为使得当（2）因为g 为于是, 存在即

为

8

． 设

为递减正项数列, 证明:

级数

的部分和为

与级数

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

在使得当

时的无穷小量.

时的无穷小量

, 即

时,

’即

存在正数

故为使得当由g 为即

内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则

为

.

的无穷小量, 则为

时的无穷小量.

内也有定义. 对于任意大的

;

内有定义且不等于0, 所以在

时的无穷大量

时,

时的无穷大量, 故存在内有定义. 对于任给的

时,

时的无穷大量知, 故

,

【答案】设级数为递减的正项数列, 故

故若:又有

收敛, 则也收敛；若发散, 则也发散.

故若收敛, 则

也收敛；若发散, 则也发散

. 由上可知两级数的敛散性相

同.

9．

设

S 为非空数集

, 定义

【答案】设有对于任意正数

存在

则任意

使得

证明

:

则

于是,

即

故故

是是

的一个下界. 又的下确界, 即

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