2018年哈尔滨师范大学数学科学学院630实分析之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f （x ）在
求证:在【答案】令
上连续, 且
内至少存在两个不同的点
, 则有
, 使
又因为
所以存在sinx 恒为负,
都与
于是F （x ）在则存在
2． 设正项级数
收敛, 和为S. 令
求证:当0 【答案】把区间[0, S] 用分点 及函数 的单调递减性, 得 这意味着级数 3． 设正项级 【答案】因为进而由比较原则得 收敛. 的部分和有界, 从而此级数收敛, 且收敛，证明级数 也收敛. ，义由已知碍 及 收敛，所以 收敛， 分成无限个小区间. 在 上, 由 矛盾. 又当, 使得 时, , 故, 即 上有三个不同零点, 再用罗尔定理, , 使得 . 因若不然, 则在 内或F （x ）sinx 恒为正, 或F （x ） 4． 证明:圆（a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角. 可得 【答案】设切线与向径的夹角为 而当时, tanx 为单值函数, 因而由可推出, 即圆上任一点的切线与向 径夹角等于向径的极角. 5． 设f , g 为定义在D 上的有界函数, 满足 （1）（2） 【答案】（1）设于是, 是（2）设于是是 6． 证明对任意常数 的一个上界, 而是 只需证 的一个下界, 而是 球面 只需证 因对一切 , 有 是正交的 有 的最小上界, 故 . 因为对一切的最大下界, 故与锥面 证明: 【答案】设（x , y , z ）是球面与锥面交线上的任一点, 则球面在该点的法向量为 锥面在该点的法向量为 因为 故对任意常数 球面与锥面正交. 7． 证明:闭域必是闭集, 举例说明反之不真. 【答案】（1）设D 为闭域, 则有开域G 使 其中 c 为G 的边界, 设 2 ① 由 知:对任意, 使 ② 这与以上结论矛盾. 其 , 则且 中G 为G 的余集即关于R 的补集. 由于 下证 若不然, 则存在 由于 从而 因此②真, 由①知 于是当 从而存在 充分小时, • 中含有G 的点Q , 于是 故P 0不是D 的聚点, 这就证明了:若P 0为D 的聚点, 则（2）例如 或 , 因此D 为闭集. 是闭集, 但不是闭域. 二、解答题 8． 应用换元积分法求下列不定积分: （1）（3）（5）（7）（9）（11 ）（13）（15）（17）（19）（21）（23）（25）（27）（29）（31）（33）（35）【答案】 （1） （2）（3）（4） * （5） （2） （4） （6） （8） （10） （12） （14）t （16） （18） （20） （22） （24） （26） （28） （30） （32）; （34） （36） ; G 为自然数
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