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一、计算题

1． 设

求

【答案】

2． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.

【答案】由题意, 有

, 即

又由于y=f（x ）过点（2, 5）, 即5=4+C, 故C=l.因而所求的曲线为

3． 设

, 求

【答案】

.

4． 计算二重积分

其中

是双纽线

,

则双纽线方程为

围成的区域.

（如图）:

【答案】令

图

由于区域和被积函数关于x 轴对称, 故

5． 设平面光滑曲线由极坐标方程

给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 【答案】曲线的直角坐标方程为

, 于是

6． 设

【答案】令:由

两边求导有

求则

7． 设f （x ）在

【答案】由条件得

上连续, 且满足条件. 求证:f （x ）为一常数.

即

8． 求极限

.

【答案】记它可看做

, 则

|在[0, 1]上对应于n 等分割T 及介点

.

的积分和, 于是

故

二、证明题

9． 设

,

其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.

【答案】因为对任何正

数, 只有有限个

点使

, 所以二重积分存在且等于零.

当y 取无理数时, f （x , y ） = 0, 所以

,

. 因此函

, 因而存在一个分割T ,

使得

然而, 当y 取有理数时, 在x 为无理数处f （x , y ） =0, 在x 为有理数处数f （x , y ）在任何区间上的振幅总大于, 即函数f （x , y ）在显然就不存在先x 后y 的累次积分.

同理可证先y 后x 的累次积分不存在.

上关于x 的积分不存在.