2018年河南工业大学理学院617数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设
【答案】由于
求dz.
可微，故
2． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点, 使
（1）
【答案】（1） f （x ）在
（2）上连续, 又因为
所以f （x ）在x=0右连续. 故f （x ）在
内连续
.
故f （x ）在（2）所以
时
,
在x=0不可导.
则
所以
;
当 的敛散性.
有
再由
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内可导, 且, 根据罗尔中值定理, 存在一点
在
, 使
上不满足罗尔中值定理的条件.
当时
,
,
所以
故
函数f （x ）在区间[―1, 1]内不存在, 使
3． 判断积分
【答案】对
收敛, 可得收敛.
4． 试给出函数f 的例子, 使性有矛盾吗?
【答案】令
恒成立, 而在某一点处有这同极限的局部保号
在实数集R 上恒成立. 但
.
, 这与极限的局部保
号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求
5． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程:
（1）（2）
【答案】（1）1,
法线方程为
（2
）
,
即
;
.
, 故切线方程为
故切线方程为y=1, 法线方程为x=0.
, 即. 法线斜率为－
6． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小.
【答案】令1.
故
7． 设
【答案】由’
,
. 所以a=1是f （a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小. , 其中
z=f（
x ,
y ）由方程
所确定的隐函数求
故
8．
计算近似值:
（1）（2）
【答案】（1）设
根据
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, 则, 由得, 舍去－1得a =
及
所确定的隐函数z=f（x , y ）得.
（2）设
则
因而
9． 验证下列积分与路线无关, 并求它们的值:
（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）
所以积分与路径无关, 取路径y=x, 得
（2）由关, 取路径
如图, 则
’,
, 沿在右半平面的路线; , 沿不通过原点的路线;
, 其中,
少为连续函数.
其中P=x=y, Q=y—x ,
.
, 则
. 所以积分与路径无
,
图
（3）因
,
,
•故积分与路径无关, 且
（4）当（5）因
,
时,
为连续函数, 则
分别是
和的原函数,
于是无关, 从而
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是全微分, 故积分与路径无关, 且
可见积分与路径