2018年海南师范大学数学与统计学院804高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 3． 设
则由基A.
线性相关，所以线性相关，故选A. 是3维向量空间
到基
的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
阶方阵，且秩
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
B.
C.
D. 【答案】A
4． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】由题设知，所以
则A=（ ）.
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二、分析计算题
6． 设V 是数域P 上3
维线性空间,
线性变换
在V 的基
问, 可否在V 的某组基下矩阵为
为什么？
【答案】设A 的特征矩阵为
的特征矩阵为
则
下矩阵为
所以A 的不变因子为
所以8的行列式因子为
有不同的不变因子, 从而不等价, 即
A 与B 不相似, 因此, 在任一组基下的矩
故与
阵都不可能为
7．
设A 为主对角线上元素为1，一 2, 1的三阶对角方阵，B 为三阶方阵且
求B.
【答案】由（4）得.
故
可逆且由
得
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