2018年哈尔滨工业大学威海校区831高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算
阶行列式
【答案】将第行与上面各行作两两对换，将它换到第1行，需经n 次对换，再将n 行作两
次对换，…直至第2行作一次对换放在第n 行. 得
两对换，换到第2行需经
再对列作类似变换，所以
再由范德蒙行列式可得
2． 计算n 级行列另
的值，其中
【答案】将升阶
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3．
实矩阵A 和B , 证明:A
和B 实相似的充要条件是复相似. 【答案】必要性显然.
下证充分性，设A 与B 复相似，即存在复可逆阵其中M 和H 都是
n 阶实方阵，由因为
使
4
． 设R 的线性变换在标准正交基下的矩阵为
（1）求A 的特征值和特征向量. （2
）求
的一组标准正交基, 使A 在此基下的矩阵为对角矩阵.
所以A 的特征值为
当
时, 特征方程为
此系数矩阵秩为1, 故A 有两个属于1的线性无关的解向量
从而属于1的所有特征向量为
其中
不全为零.
，使
，此即
，故
，令
不是零多项式，它在复数域上仅有有限个根，从而存在实数a ,
则P 是实可逆阵，且由有
【答案】（1）计算可得
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当时, 特征方程为
于是原方程组等价于
故A 的属于4的线性无关特征向量为为任意常数.
（2） A 为实对称阵, 从而存在正交阵T , 使
把先正交化:
正交化, 再单位化.
再单位化:
从而属于4的所有的特征向量为
其中k.
故组成了A 的标准正交基, 且A 在下的矩阵为对角矩阵.
5． 设以下n 阶行列式为D. 证明:若n 为奇数，则D=0.再举例指出，当n 为偶数时存在
【答案】将D 中每行都提出-1, 由于n 为奇数，故
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