2018年哈尔滨工业大学深圳研究生院831高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设有一个6阶矩阵
其中a , b都是实数, 且【答案】因为特征矩阵
试求AEA 的不变因子与初等因子, 以及A 的若当标准形.
在①的右上角有一个5阶子式等于而. 所以
从而的不变因子为
A 的初等因子为
A 的若当标准形为
2． 求下列线性空间的维数与一组基:
（1）数域P 上的空间（2）
;
中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间;
（3）实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中
【答案】⑴令
即的元素除去第i 行，第i 列处为1外，其余全为零. :
矩阵
. 又设
于是任意
则故性组合，
故
（2）令集合，则
，所有是是
的一组基，
且
是维的.
是
中上三角阵的集合，
是
中对称矩阵的
中反对称矩阵的集合,
即
是线性无关的, 又任意
是
的线
, ,
是
维的.
（3）记
由于
，故
及
对任意K 有
的基，
是是
的基，
是
维的.
维的.
是的基，是
对E ,
任
的线性组合. 现设
. 即有
其系数行列式为范德蒙德行列式
故上述方程组只有零解，即是三维的.
3．
设（2
）求
. 于是E ,
是线性无关的，因而是V 的一组基V
意
，则
,
令
. 故V 中任一元是
成为对角阵；
所以A 的特征值为
（n
是正整数）.
（1
）求正交矩阵P ，
使【答案】 （1
）计算可得当当令
时，得特征向量 时，得特征向量
则
（
2）由①式有其中
4． 在给定了空间直角坐标系的三维空间中, 所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R
（1）问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间；
（2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间
能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来.
3
问
相关内容
相关标签