当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设曲线明

【答案】由对称性知

2． 设

可微，且

在上连续，若存在常数

试证明：(1) 是

【答案】(1) 任取所以

(2)

因为

即

是上的一一映射。 因为f

在处可微，即

所以

使

则

由的任意性知，

3． 设函数在

内具有

阶连续导数，且

在

内的泰勒公式为

第 2 页，共 23 页

的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令证

使对一切均有

上的一一映射；(2) 对一切

证明：【答案】f 在

内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为

在内的带佩亚诺型余项的泰勒公式为

①式减②式，得

两边同除以

得

两边取极限得

即

二、解答题

4． 求极限

【答案】方法一：令

则有

当

Wt ，

故有

因此方法二：当

时，是无穷小量

.

由此即得

5． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数。

【答案】

是此函数的第二类间断点，但它有原函数

第 3 页，共 23 页

另外，狄利克雷函数

6． 应用格林公式计算曲线积分一段.

【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线，不能应用格林公式，加上从线段

则有

其中D 为封闭曲线

所围成的区域，由极坐标变换，

即原积分

7． 讨论下列函数的连续性与可导性

.

【答案】对

对任一无理数X 均有同理，对

当

时，由于

取

在

所以f

在所以€在_

内对任一有理数均有处都不连续，当然也不可导. 处连续，但由于

在对

时极限不存在，因而f

在由于

所以

当然g

在

处也连续.

8． 求下列函数的n 阶导数：

处不可导.

的直

其中L 为上半圆周

从

到

的

其定义域R 上每一点都是第二类间断点，但

无原函数。

在处也不连续、不可导.

【答案】

第 4 页，共 23 页