2017年西北师范大学数学与统计学院620数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1．
设
在
求证：至少存在一点【答案】用反证法, 如果函数因为
在
点
在使
得
这与
点.
2． 设
上连续，所以
使得在
上没有零点，那么函数由题设条件知，
在是最小值相矛盾，所以函数
在内
存在在
上也没有零点，
，使
得
上至少有一个零
. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存
上连续，对于区
间
中的每一个
点
总存在
.
使
得
在内有定义，且
求证：【答案】因为
所以对任意给定的
使得当
由
得
时，
因为
所以对令取极限得到
从而
3． 证明：闭区间
设
不妨设
的全体聚点的集合是
则
本身。
中有无穷多个实数，故a 是
则
中的无穷多个点，故x 0为
则
即闭区间
的全体聚点的集合是
本身。
的一个聚点. 总之
即
不
是
的聚点，
即
b 也是的一个聚点. 同理，
【答案】设[a，b]的全体聚点的集合是M 。
由实数集的稠密性知，集合的一个聚点。
设
不妨设
故x 0的任意邻域内都含有设
故综上所述，
令
二、解答题
4． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点：
【答案】(1) 经判定可知该点集是有界集，也是区域，但既不是开集又不是闭集.
其聚点为
. 中任一点. 界点为矩形
的四条边上的任一点.
(2) 该集为开集，不是有界集也不是区域，其聚点为平面上任一点，其界点为两坐标轴上的点. (3) 该集为无界闭集，不是开集不是区域，其聚点为坐标轴上的任一点，而界点与聚点相同. (4) 该集为开集，且为区域，聚点为满足(5) 该集为有界开集，界点为直线内的任一点和任一界点.
(6) 该集为有界闭集，聚点为闭集中任一点，界点与聚点相同. (7) 该集为有界闭集，聚点为集合中除去
部分.
均为整数) 中的全体点.
上的点，界点与聚点相同.
(8) 该集为闭集，没有聚点，界点为集合
上任一点，界点为，上的所有点.
所围成的三角形三边上的点，聚点为开集
中的所有点，界点为聚点
(9) 该集为非开非闭的无界集，聚点为点(0, 0) 及曲线
5． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。
图
【答案】椭圆柱面的方程为性质有
解得
于是
故所求体积
6． 应用中值定理估计积分
【答案】
由于在
使得
从而
7． 计算下述积分
：
【答案】记
则
其中D 是矩形区域
的值.
上连续，据中值定理知：存
设垂直于X 轴的截面面积为
则由相似三角形的
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