2017年西北师范大学数学与统计学院620数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若数列
收敛于a ，则级数
【答案】级数的前n 项和
.
而
所以
即
2． 设f 为定义在D 上的有界函数，证明：
⑴(2
)
【答案】(1)
设
使得
(2) 同理可证.
3． 若在区间I 上，对任何正整数n ，
证明：当【答案】因为意.
及任意
在I 上一致收敛时，级数有
从而由
得
所以，由柯西准则知，
级数
在I 上一致收敛.
在I 上也一致收敛.
总存在N>0, 使得当n>N时，对任
在I 上一致收敛，故对任给的即
. 则对一切
有
所以
即
对任意
存在
二、解答题
4．
设
是区
域
上的有界k 次齐次函
数
问极
限
是否存在? 若存在，试求其值
【答案】令
由于
是区域上的有界k 次齐次函数，
5． 求下列全微分的原函数：
(1) (2) (3)
【答案】(1) 由于
从而积分与路径无关，其原函数
(2)
由于故其原函数
或(3) 由即
6． 求椭圆
的内接矩形中面积最大的矩形.
则矩形面积为
求又
从而积分与路径无关，
易见积分与路径无关，故原式为某一函数的全微分，令
【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为
的最大值点等价于求.
的最大值点. 从
即点是函数在内的最大值点，从而也是函数
在内的最大值点，
故最大内接矩形的面积为
7． 计算下列二重积分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【答案】(1) 原式(2) 曲线
其中其中 其中其中
其中
其中在内
在 内
所以
将区域D 分为两部分和
(3) 其中 所以
(4) 积分区域为所以
D 关于x 轴对称，而函数关于y 是奇函数，
从而原式令
则
所以
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