2017年西北师范大学教育学院636数学教育综合之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
具有连续的n 阶偏导数，试证：函数
【答案】应用数学归纳法证明.
当且
设
成立，则
所以，对一切的n ，
2． 设
证明函数
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
，若在每个取点
若在每个
在(当
3． 试证明
【答案】令
则
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的n 阶导数
时，
使皆为有理数，则
取点时) . 即
为非有理点，则
在D 上不可积.
因此的极限不存
于是原不等式左边变为
(应用了赫尔德不等式
)
二、解答题
4． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式：
【答案】(1) f (x ) 是周期为的周期函数
如图所示
.
图
因f (x ) 按段光滑，故可以展为傅里叶级数，又f (x ) 为偶函数，故
所以由收敛定理
时
(2) f (x ) 是周期为1的周期函数
如图所示
.
图
显见f (x ) 是按段光滑的，故可展开成傅里叶级数，
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由收敛定理，当
时，
当
时，上式右端收敛至
又
为按段光滑的，故可展开成傅里叶级数，
(3) f (x ) 是以为周期的函数
由收敛定理知
(4) f (x ) 是以为周期的函数又f (x ) 是偶函数，故
时
显见按段光滑的，故可展开成傅里叶级数，
由收敛定理
时
当
时，上式右端收敛到0, 故上式对
内那部分的面积.
均成立.
5． 求曲面az=xy包含在圆柱
【答案】设曲面面积为S. 由于
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