2018年宁波大学海洋学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设总体
X
服从几何分布，
即
为该总体的样本. 分别求
【答案】容易看出
的概率分布. 所以
同样可以得到
此式对
也成立，因为
所以
的分布列为
可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 事实上，
由于
从而
而其和
下面求所以
类似有
所以
的分布列为
同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 这里非负性是显然的，而其和
2． 设
取拒绝域为【答案】
的分布列. 由于
所以其
中
是来自0-1总体b （1, p ）的样本，考虑如下检验问题
，求该检验犯两类错误的概率. ，则
，于是犯两类错误的概率分别为
，
3． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P （X ≤Y ）
【答案】因为当
:时，有
所以（X ，Y ）的联合分布列为
表
由此得
4． 试问下列命题是否成立？
（1）（2）若
（3）（4）
且
，则;
；
.
【答案】（1）不成立是因为由（1）的左端可得
（2）成立的理由是:互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质:
（3）不成立是因为由（3）的左端可得（4）不成立的理由是
5． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率.
【答案】记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，其出现是等可能的， 则此题所涉及的样本空间含有四个等可能样本点:若令事件A 表示“取出的两个正整数之和为偶数”，
则
，从而P （A ）=1/2.
6． 某合金钢的抗拉强度y 与碳含量x 有关，现有92炉钢样数据，从中算得
来简化事件.
，
试用两个标准分别建立一元回归方程.
【答案】 （1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为
（2）用到回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为
比较两种标准下的结果，可见与之间相差较大，这是因其相关系数r=0.8902与1有较大差距.
7． 设随机变量X 服从区间（0, 2）上的均匀分布，（1）求Y=X2的密度函数；（2）
【答案】X 的密度函数为
（1）其反函数为
的可能取值区间为（0, 4）. 因为
，所以
在区间（0, 2）上为严格单调增函数， 的密度函数为
（2）
8． 设随机变量X 的密度函数为
如果【答案】由
，求a 和b.
得
又由
得
联立（1）（2），解得a=l/3，b=2.
.
二、证明题
9． 设
是来自两参数指数分布
的样本，证明
是充分统计量.
【答案】由已知，样本联合密度函数为
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