2017年延安大学数学与计算机科学学院814数学分析与高等代数[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1)
. (2
)
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
2． 证明：数.
【答案】
由
的凸性知
所有
即
.
故
为上的凸函数.
在
上有二阶导数并且
，
记.
的图像曲线为C ，过C
围
3． 已知函数上点
为
上的凸函数
.
因为函数.
为
上的凸函数，所以
为区间
上凸函数
函数
为
上的凸函
. 存
在
即
存在
是A+B的一个上界.
使
得
于是
，
并
且
使得c=a+b, 则设
于是
证明：
引切线. 证明当t 变动时，由该切线与曲线C 以及直线
围成的平面图形面积为
成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值.
【答案】由题意得，切线与曲线C 以及直线
且
所以
二、解答题
4． 求摆线
【答案】因
故质心坐标为
5． 设
在
上连续可导，且
求证：
【答案】设显然
满足
满足（2）式. 于是
的质心，设其质量分布是均匀的.
所以
6． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性：
(1
) (2
)
【答案】(1) 因为
*
所以(2) 因为
由拉贝判别法，当x>1时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=1时，原级数化为也发散.
7． 求下列函数的导数：
【答案】
8． 设
(这个函数在
时不连续) ，试证由含参量积分
所确定的函数在【答案】由于当
时，
所以
上连续，并作函数. 因此当
时
的图像.
，故由拉贝判别法可得原级数收敛.
即（1）式成立。
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