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一、证明题

1． 求证：

(1) (2)

【答案】(1) 令

注意到

(2) 由第(1) 小题得，

于是，对任给定

取

.

当n>N时，便有

满足

【答案】令

利用

中值定理得

利用

中值定理得

令

则

原式

3． 设

【答案】由

知

且

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有

所以

2． 设f (x ) 在(a , b ) 内二次可微，求证：

证明：数列

收敛，且其极限为

又因为

有下界的. 所以，

数列边求极限，得到

收敛. 令

解得

由

或

知

即

数列是单调递减

两

(极限保号性) . 对

舍去负根，因此

二、解答题

4． 求a 、b 使下列函数在x=0处可导：

【答案】由于函数在x=0处可导，从而连续；

由又由

5． 若曲线以极坐标线积分：

(1) (2) 且

6． 试写出下列类型极限的精确定义：

【答案】(1) 设得当

(2) 设当

且且

以A 为极限，记为

-时，

恒有

为D 上的函数，A 是一个确定的数. 若对任给的正数总存在正数M ，使

时，

恒有

成立，则称当

时，

以

成立，

则称当

时，

函数

其中L 为曲线其中L 为对数螺线

的一段； 在圆

内的部分.

表示，试给出计算

的公式，并用此公式计算下列曲

得到b=l: 得到a=0.

【答案】因L 的参数方程为

为D 上的函数，A 是一个确定的数，如果对任给的正数总存在一个正数使得

A 为极限，记为

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7． 设

【答案】令

求

则

即

8． 设

其中A ，a ，b 为常数，试问A ，a , b 为何值时，【答案】.

故要使

又

要使有导数存在，必须b=0.

处可导? 为什么？并求

存在，必须A=0.

综上可知，当A=b=0为任意常数时，f （x ）在z=0处可导，且

9． 求下列函数的导函数：

【答案】

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