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一、证明题

1． 设函数

在

上严格单调増加，求证：函数

也在【答案】

上严格单调増加.

且设

于是

同理可证

在

上严格单调增加. 上的函数，对任何与

并且

它们在也都收敛。

和

根据比较判别法，

上的递增函数. 证明

和. ) . 因为f

为

使得

即

②

同理可证.

，令故

都存在，且

上的增函数，

所以对

上有上确界，令则

并当

.

有F 时，有

都收敛，所以

也收敛。

上都可积. 证明：若

与

因为

在

上严格单调増加，所以

2． 设与g

是定义在

收敛，则

【答案】因为收敛. 又因为

3． 设f 为

【答案】

①取

•即f (x ) 在

是对任给的

存在

上有上界. 由确界原理知f (x ) 在

二、解答题

4． 判断积分

【答案】（1）当p=q时，

易知：当p

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的收敛性，其中p 和q 是参数.

收敛，

当

时，

发散;

当

时，

收敛，

当

时，

发散.

所以不论p=q取何值，一定有（2）当由当

时，

时，不妨设

对于无穷积分知：当q>l时，

发散.

的收敛性.

发散.

收敛；

下面在q>l的前提下讨论若

则

为正常积分，收敛.

知：

若p>0，

由当0

收敛；

当

时，

发散.

综合可知：

当

或

时

，

和发散.

均有且时

其中

因此，当n 为都收敛，从

而

收敛敛；在其他情况下，

5． 设

在

【答案】

由

有

因

正整数时有

在）在

上一致连续，则存在非负实数a 与b ，使得对一切

上一致连续，

所以对

对任意上有界，所以存在

使得

当

. 存在整数n ,

使得

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当n 为负整数时有

由

知

代入上式得

记 6． 求

（a 为常数）.

，则

使得

【答案】（1）当a=-1时，

（2）当

吋，

故

7． 求下列不定积分：

【答案】

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