2017年延安大学数学与计算机科学学院716数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f (x ) 在x=0连续，并且
【答案】
于是，有
求证：
存在，并且
把这些式子左右两边对应相加得
由于
在x=0连续，对
取极限，
此即
2． 设f (x ) 在在
【答案】
其中
因为
单调递减.
为正数
证明：方程
在区间
与
内各有一个根.
f (X ) 为初等函数，因此f (X ) 为连续函数. 由于
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存在，且在
上单调递减，试证：
亦
上一阶可微，且
上单调递减.
代入①式，得
在
3． 设
【答案】(1) 证法一：设辅助函数
故有
由根的存在性定理，必存在令
则
即
(2) 证法二：
令
且
得
.
故方程
使得在
在
因
为
由连续函数根的存在定理知，
存在
内有一个根. 同理可证，方程.
在
内各有一个根.
所以存
在
使
内也有一个根.
使得
二、解答题
4． 求下列函数的稳定点：
【答案】（1
）
故（2）
5． 设
【答案】三方程分别对求偏导数，得
的稳定点是由
得
解得
故f （x ）的稳定点是x=l. 由
得
解
得
解之得
同理，三方程分别关于
求偏导数，则可解得
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6． 求
【答案】注意到解之得
可令
从而有
原积分
7． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：
【答案】(1) 因又(2)
因为
收敛，故收敛域为
(3) 记
所以
收敛半径
当
时，级数为
通项为
则
故(4) 因(5)
设
收敛域为(6)
设
为
当
时，原级数可化为
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故收敛半径与级数
故收敛半径
收敛区间为收敛区间为
当
时，级数
时，级数均发散，故收敛域为
即时级数发散，故收敛域为故收敛半径为
则
故级数收敛半径
故
：收敛域为故对任取定的
有
故级数的收敛半径为
从而收敛区间