2017年延安大学数学与计算机科学学院716数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若
【答案】
若
为递增数列，则无界，
则
等式成立.
若
有界，由单调有界原理可得存在，
从而
2． 设f 为定义在D 上的有界函数，证明：
⑴(2)
【答案】(1)
设
使得
(2) 同理可证.
3． 证明的有界函数.
是R 上的有界函数.
于是，
故
是R 上
即
. 则对一切
有
所以
即
对任意
存在
【答案】由平均值不等式可得
二、解答题
4． 应用
【答案】在任何
内一致收敛
.
所以
则
5． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性：
(1) (3)
(2)
(4)
第 2 页，共 21 页
【答案】(1) 方法一 易知当由于
时，
所以当n>e时有
即在(0, 1) 内单调递减且于是
故方法二
在(0，1) 内一致收敛.
的极限函数当
时恒有
于是
取
因为
则当n>N时有
则
因此对一
切0 故(2) 易知当而 在(0，1) 内一致收敛. 时， 所以(3) 令 由于 所以 从而 故(4) 易知当 在 上一致收敛. 时， 当 时，对任意正整数N 都有 第 3 页，共 21 页 在[0, 1]上不一致收敛. 当 时， 因为综上所述， 所以存在正整数 存在正整数 当n>N时有当n>N时， 故 6． 设 【答案】令 所以 7． 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？ 【答案】设一段长为x ，则另一段长为得 . 形面积最大。 8． 设 又因为 故 矩形的面积为是 于是， 由 的极大值点. 因此当两段长度均为时，矩 在 内一致收敛. 求 即 都有 (这个函数在时不连续) ，试证由含参量积分 所确定的函数在【答案】由于当 时， 上连续，并作函数. 因此当 时 的图像. 所以 它在 上连续， 的图像见图 第 4 页，共 21 页