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一、综合题

1． 设函数u=u（x , y ）由方程组u=f（x , y , z , t ）, g （y , z , t ）=0, h （z , t ）=0所确定, 求

【答案】方程组分别关于x , y 求偏导数, 有

和

由和

分别解得

2． 设二元函数f 在区域D=[a, b] ×[c, d]上连续.

（1）若在int D内有（2）若在intD 内有

试问f 在D 上有何特性？

f 又怎样？

则

（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？ 【答案】（1）二元函数f 在D= [a, b] × [c, d]上连续, 若在int D内有这是因为对int D内任意两点

即

由

由中值定理知:存在的任意性, 知则f （x , y）=常数.

由中值定理知:存在

使得

因为

所以

由

上二元函数

在int D

内

可是f 不连续,

二元函数

显然f 与x 有关, 结论不成立.

在（1）的讨论中, 长方形区域不能改为任意区域, 否则结论不一定成立. 例如设

的任意性, 知f （x , y ）=常数.

使得

（2）若在int D内有事实上, 对int D内任意两点

（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设不能省略. 否则结论不一定成立. 例如, 在矩形区域

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在D 上连续, 且

但f （1, ﹣1）=1, f （﹣1, 1）=0, 即f 与x 又有关, 结论不成立.

3． 应用格林公式计算下列曲线积分:

（1）方向取正向;

（2）上半部的路线.

其中

m 为常数

, AB

为由（

a ,

0）

到（

0, 0）经过圆

其中L 是以A （1, 1）, B （3, 2）, C （2

, 5）为顶点的三角形,

图

【答案】

（1

）

各边方程为:

（2）由于AB 不是封闭曲线, 则加一段

, 有

4． 应用凸函数概念证明如下不等式:

（1）对任意实数a , b, 有（2）对任何非负实数a , b , 有【答案】（1）

. 因

恒成立, 故是

. 上的凸函数,

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令定义中的（2

）

, 则有

,

. , 当

时,

, 从而

是

上

的凹函数. 故由定义可知,

对任意非负实数a , b

, 有

即

5．

计算下列积分:

【答案】

（1）令x=1

—t , 则dx=—

dt ,

代入原积分, 有

所以

（用了欧拉积分

故

（2）

对上式右端第一个积分作变换:x=1+t, 则

于是有

）